Ângulos notáveis

ângulo notáveis
Tomemos um tringulo equilátero de lado \(1\), tal que trascemos a bissetriz dividindo a base em dois lados iguais de medida \(\frac{1}{2}\) como a foto acima, todos os angulo internos deste triangulo tem medida de \(60°\).
Agora temos dois triâgulos retângulo de hipotenusa igual \(1\) e cateto menor igual a \(\frac{1}{2}\), assim os ângulos internos deste novos dois triângulos retângulos são \(60°\) e \(30°\).

usando pitagoras podemos descobrir o valor de \(h\) $$a^2 = b^2 + c^2$$ $$1^2 = \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 + h^2$$ $$1^2 - \Bigl(\frac{1}{2}\Bigr)^2 = h^2$$ $$h^2 = 1 - \frac{1}{4}$$ $$h^2 = \frac{3}{4}$$ $$h = \sqrt{\frac{3}{4}}$$ $$h = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Agora em relação triangulo retangulo e ao angulo \(30°\) temos $$sen 30° = \frac{cateto\space oposto}{hipotenusa} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$$ $$cos 30° = \frac{cateto\space adjacento}{hipotenusa} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$tg 30° = \frac{cateto\space oposto}{cateto\space adjacento} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$$ Usando a mesma ideia para o ângulo \(60°\)
$$sen 60° = \frac{cateto\space oposto}{hipotenusa} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$cos 60° = \frac{cateto\space adjacento}{hipotenusa} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}$$ $$tg 60° = \frac{cateto\space oposto}{cateto\space adjacento} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$$ Para o Ângulo de \(45°\) temos:

Ângulos notáveis
todos os ângulos internos de um quadrado é \(90°\) trassando a diagonal \(d\) com pitagoras temos $$a^2 = b^2 + c^2$$ $$d^2 = 1^2 + 1^2$$ $$d^2 = 1 + 1$$ $$d^2 = 2$$ $$d = \sqrt{2}$$ veja com a diagonal temos um triangulo retangulo isosceles pois dois lados iguais a \(1\) e a hipotenusa igual a \(d = \sqrt{2}\) com um angulo interno de \(90°\) e dois de \(45°\), colocando os angulo de
\(45°\) temos que cateto oposto e adjacente medidindo \(1\) e hipotenusa igual a \(d = \sqrt{2}\)
$$sen 45° = \frac{cateto\space oposto}{hipotenusa} = \frac{1}{\sqrt{2}} = = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$cos 45° = \frac{cateto\space adjacento}{hipotenusa} = \frac{1}{\sqrt{2}} = = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$tg 45° = \frac{cateto\space oposto}{cateto\space adjacento} = \frac{1}{1} = 1$$ Após os cálculos segue a tabela dos ângulo notáveis

\(\space \space \space\) \(30°\) \(\space \space \space\)\(\space \space \space\) \(45°\) \(\space \space \space\)\(\space \space \space\) \(60°\) \(\space \space \space\)
Seno\(\frac{1}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Cosseno\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\(\frac{1}{2}\)
Tangente\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)1\(\sqrt{3}\)